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통계 - 분포, 정규분포, 왜도, 첨도

04 Aug 2025 | Statistics

개인공부 후 자료를 남기기 위한 목적임으로 내용 상에 오류가 있을 수 있습니다.

분포

데이터가 전체 범위에서 어떻게 퍼져있는지를 나타내는 패턴

  • 어떤 값 주변에 데이터가 얼마나 자주 등장하는지
  • 데이터들이 어디에 몰려있는지 등을 설명함

왜 분포를 봐야 하는가?

  • 평균이나 중앙값 등 단일 수치만으로는 데이터의 전체 모습을 알 수 없다
  • 서로 다른 두 데이터가 같은 평균을 가질수는 있지만, 데이터의 퍼짐형태(=분포)는 전혀 다를수 있다

예시

  • A의 시험 점수
    • $70, 71, 69, 70, 70, 71, 69, 70$
    • 대부분 70 근처에 몰려 있음 → 집중된 분포
  • B의 시험 점수
    • $40, 60, 80, 90, 70, 50, 100, 30$
    • 점수가 넓게 퍼져 있음 → 흩어진 분포
  • 둘 다 평균은 비슷하지만 분포는 매우 다름.
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import seaborn as sns

np.random.seed(0)

# A: 평균 70, 표준편차 1 (집중된 분포)
score_A = np.random.normal(loc=70, scale=3, size=1000)

# B: 평균 70, 표준편차 15 (넓게 퍼진 분포)
score_B = np.random.normal(loc=70, scale=8, size=1000)

plt.figure(figsize=(10, 5))

# 히스토그램 (확률 밀도 기준)
sns.histplot(score_A, kde=False, stat="density", bins=20, color="steelblue", label="A", alpha=0.3)
sns.histplot(score_B, kde=False, stat="density", bins=20, color="orange", label="B", alpha=0.3)

# KDE 선 그래프
sns.kdeplot(score_A, color="blue", linewidth=2)
sns.kdeplot(score_B, color="darkorange", linewidth=2)

plt.title("Score Distribution: A vs B (n=100)")
plt.xlabel("Score")
plt.ylabel("Density")
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.tight_layout()
plt.show()

정규분포(Normal Distribution)

  • 데이터가 평균을 중심으로 좌우 대칭으로 퍼지는 분포
  • 그래프 형태가 종(bell) 모양을 가짐 > bell curve라고도 불림
  • 많은 자연현상과 측정값, 사람의 키, 시험 점수 등이 정규분포를 따름

정규분포의 특징

  1. 평균, 중앙값, 최빈값이 모두 같음
  2. 좌우가 대칭
  3. 대부분의 데이터가 평균 근처에 몰려있음
  4. 멀어질수록 빈도가 떨어짐
  5. 종 모양 곡선을 그릴 수 있음

정규분포의 확률 분포 규칙 (68-95-99.7법칙)

  • 평균 ± 1 표준편차 범위에 전체의 약 68% 포함
  • 평균 ± 2 표준편차 → 약 95%
  • 평균 ± 3 표준편차 → 약 99.7% → 이 범위 안에 대부분의 데이터가 있다는 의미

정규분포가 중요한 이유

  1. 많은 통계 분석 기법이 정규분포를 전제로 함(t-test, 회귀분석 등)
  2. 정규분포 위에서는 확률계싼, 이상값 판단, 신뢰구간 해석이 가능함
  3. 정규성을 만족하지 않으면 일반적인 검정 결과가 왜곡될 수 있음
  • 정규분포는 평균이 곡선의 위치를 결정하고
  • 표준편차가 곡선의 넓이와 뾰족함 정도를 결정

왜도(Skewness)

데이터 분포가 평균을 기준으로 좌우 대칭인지, 어느 한쪽으로 치우쳐있는 지를 나타내는 지표

  • 정규분포의 왜도는 0, 완전한 대칭
  • 하지만 데이터는 한쪽으로 더 몰리거나 꼬리가 길어지는 경우가 많음
  • 왜도 > 분포가 얼마나 비대칭적으로 기울어져 있는지를 측정하는 정도

왜도의 종류

왜도 값 형태 설명
왜도 < 0 왼쪽 꼬리가 길다 음의 왜도, 평균 < 중앙값
왜도 = 0 좌우 대칭 정규분포에 가까움
왜도 > 0 오른쪽 꼬리가 길다 양의 왜도, 평균 > 중앙값 
from scipy.stats import skew

np.random.seed(0)

# 데이터 생성
data_left = skewnorm.rvs(a=-6, size=1000) * 10 + 50   # 음의 왜도
data_normal = np.random.normal(loc=50, scale=10, size=1000)  # 정규
data_right = skewnorm.rvs(a=6, size=1000) * 10 + 50    # 양의 왜도

# 왜도 값 출력
print("Negative skew:", skew(data_left))
print("Symmetric:", skew(data_normal))
print("Positive skew:", skew(data_right))

# 시각화
fig, axes = plt.subplots(1, 3, figsize=(18, 5))

# 음의 왜도
sns.histplot(data_left, bins=30, kde=True, color='skyblue', ax=axes[0])
axes[0].set_title("Negative Skew")
axes[0].set_xlabel("Value")
axes[0].set_ylabel("Density")
axes[0].grid(True)

# 대칭
sns.histplot(data_normal, bins=30, kde=True, color='lightgreen', ax=axes[1])
axes[1].set_title("Symmetric")
axes[1].set_xlabel("Value")
axes[1].set_ylabel("Density")
axes[1].grid(True)

# 양의 왜도
sns.histplot(data_right, bins=30, kde=True, color='salmon', ax=axes[2])
axes[2].set_title("Positive Skew")
axes[2].set_xlabel("Value")
axes[2].set_ylabel("Density")
axes[2].grid(True)

plt.tight_layout()
plt.show()

첨도(Kurtosis)

분포의 뽀족함 또는 꼬리의 두꺼움 정도를 수치로 나타낸 값

  • 정규 첨도: 정규분포처럼 적당히 뾰족하고 꼬리가 적당히 얇은 경우
  • 고첨도: 중심에 데이터가 지나치게 몰려잇고 꼬리가 두꺼운 경우
  • 저첨도: 분포가 평평하고 중앙 집중도가 낮은 경우

첨도의 종류

구분 첨도 값 (Fisher 기준) 형태 설명
고첨도 > 0 뾰족하고 꼬리가 두꺼움 이상치 발생 가능성이 높음
정규 첨도 = 0 정규분포와 동일한 형태 기준값 (표준 정규분포)
저첨도 < 0 평평하고 중심 집중도 낮음 꼬리가 얇고 극단값이 드묾 
from scipy.stats import kurtosis

np.random.seed(1)

# 고첨도: t-distribution (자유도 3)
data_high = np.random.standard_t(df=3, size=1000)

# 정규첨도
data_normal = np.random.normal(loc=0, scale=1, size=1000)

# 저첨도: uniform distribution
data_low = np.random.uniform(low=-3, high=3, size=1000)

# 첨도 출력
print("High kurtosis:", kurtosis(data_high))
print("Normal kurtosis:", kurtosis(data_normal))
print("Low kurtosis:", kurtosis(data_low))

# 시각화
fig, axes = plt.subplots(1, 3, figsize=(18, 5))

sns.histplot(data_high, bins=30, kde=True, color='orange', ax=axes[0])
axes[0].set_title("High Kurtosis")
axes[0].set_xlabel("Value")
axes[0].set_ylabel("Density")
axes[0].grid(True)

sns.histplot(data_normal, bins=30, kde=True, color='lightgreen', ax=axes[1])
axes[1].set_title("Normal Kurtosis")
axes[1].set_xlabel("Value")
axes[1].set_ylabel("Density")
axes[1].grid(True)

sns.histplot(data_low, bins=30, kde=True, color='skyblue', ax=axes[2])
axes[2].set_title("Low Kurtosis")
axes[2].set_xlabel("Value")
axes[2].set_ylabel("Density")
axes[2].grid(True)

plt.tight_layout()
plt.show()
  • 고첨도 분포에서 극단값(이상치) 자주 발생할 수 있음 > 예측 모델의 안정성에 영향을 줌
  • 저첨도 분포는 데이터가 고르게 퍼져있어 중심 경향성만 보는 분석 한계 존재
  • 첨도는 데이터의 위험성, 분포 특성, 모델 적합성을 평가할 때 중요한 지표가 됨

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